Решение иррациональных уравнений.

В этой статье мы поговорим о способах решения простейших иррациональных уравнений.

Иррациональным уравнением называется уравнение, которое содержит неизвестное под знаком корня.

Давайте рассмотрим два вида иррациональных уравнений , которые очень похожи на первый взгляд, но по сути сильно друг от друга отличаются.

(1)

(2)

В первом уравнении мы видим, что неизвестное стоит под знаком корня третьей степени. Мы можем извлекать корень нечетной степени из отрицательного числа, поэтому в этом уравнении нет никаких ограничений ни на выражение, стоящее под знаком корня, ни на выражение, стоящее в правой части уравнения. Мы можем возвести обе части уравнения в третью степень, чтобы избавиться от корня. Получим равносильное уравнение:

При возведении правой и левой части уравнения в нечетную степень мы можем не опасаться получить посторонние корни.

Пример 1 . Решим уравнение

Возведем обе части уравнения в третью степень. Получим равносильное уравнение:

Перенесем все слагаемые в одну сторону и вынесем за скобки х:

Приравняем каждый множитель к нулю, получим:

Ответ: {0;1;2}

Посмотрим внимательно на второе уравнение: . В левой части уравнения стоит квадратный корень, который принимает только неотрицательные значения. Поэтому, чтобы уравнение имело решения, правая часть тоже должна быть неотрицательной. Поэтому на правую часть уравнения накладывается условие:

Title="g(x)>=0"> - это условие существования корней .

Чтобы решить уравнение такого вида, нужно обе части уравнения возвести в квадрат:

(3)

Возведение в квадрат может привести к появлению посторонних корней, поэтому нам надо уравнения:

Title="f(x)>=0"> (4)

Однако, неравенство (4) следует из условия (3): если в правой части равенства стоит квадрат какого-то выражения, а квадрат любого выражения может принимать только неотрицательные значения, следовательно левая часть тоже должна быть неотрицательна. Поэтому условие (4) автоматически следует из условия (3) и наше уравнение равносильно системе:

Title="delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{f(x)=g^2{(x)}} {g(x)>=0} }}{ }">

Пример 2 . Решим уравнение:

.

Перейдем к равносильной системе:

Title="delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{2x^2-7x+5={(1-x)}^2} {1-x>=0} }}{ }">

Решим первое уравнение системы и проверим, какие корни удовлетворяют неравеству.

Неравеству title="1-x>=0">удовлетворяет только корень

Ответ: x=1

Внимание! Если мы в процессе решения возводим обе части уравнения в квадрат, то нужно помнить, что могут появиться посторонние корни. Поэтому либо нужно переходить к равносильной системе, либо в конце решения СДЕЛАТЬ ПРОВЕРКУ: найти корни и подставить их в исходное уравнение.

Пример 3 . Решим уравнение:

Чтобы решить это уравнение, нам также нужно возвести обе части в квадрат. Давайте в этом уравнении не будем заморачиваться с ОДЗ и условием существования корней, а просто в конце решения сделаем проверку.

Воозведем обе части уравнения в квадрат:

Перенесем слагаемое, содержащее корень влево, а все остальные слагаемые вправо:

Еще раз возведем обе части уравнения в квадрат:

По тереме Виета:

Сделаем проверку. Для этого подставим найденные корни в исходное уравнение. Очевидно, что при правая часть исходного уравнения отрицательна, а левая положительна.

При получаем верное равенство.

Конспект урока

«Методы решения иррациональных уравнений»

11 класс физико-математического профиля.

Зеленодольского муниципального района РТ»

Валиева С.З.

Тема урока: Методы решения иррациональных уравнений

Цель урока: 1.Изучить различные способы решения иррациональных уравнений.


  1. Развивать умение обобщать, правильно отбирать способы решения иррациональных уравнений.

  2. Развивать самостоятельность, воспитывать грамотность речи

Тип урока: семинар.
План урока:


  1. Организационный момент

  2. Изучение нового материала

  3. Закрепление

  4. Домашнее задание

  5. Итог урока

Ход урока
I . Организационный момент: сообщение темы урока, цели урока.

На предыдущем уроке мы рассмотрели решение иррациональных уравнений, содержащих квадратные корни, возведением их в квадрат. При этом мы получаем уравнение-следствие, что приводит иногда к появлению посторонних корней. И тогда обязательной частью решения уравнения является проверка корней. Также рассмотрели решение уравнений, используя определение квадратного корня. В этом случае проверку можно не делать. Однако при решении уравнений не всегда следует сразу приступать к «слепому» применению алгоритмов решения уравнения. В заданиях Единого государственного экзамена имеется довольно много уравнений, при решении которых необходимо выбрать такой способ решения, который позволяет решить уравнения проще, быстрее. Поэтому необходимо знать и другие методы решения иррациональных уравнений, с которыми мы сегодня и познакомимся. Предварительно класс был разделен на 8 творческих групп, и им было дано на конкретных примерах раскрыть суть того или иного метода. Слово даем им.


II. Изучение нового материала.

Из каждой группы 1 ученик объясняет ребятам способ решения иррациональных уравнений. Весь класс слушают и конспектируют их рассказ.

1 способ. Введение новой переменной.

Решить уравнение: (2х + 3) 2 - 3

4х 2 + 12х + 9 - 3

4х 2 - 8х - 51 - 3

, t ≥0

х 2 – 2х – 6 = t 2 ;

4t 2 – 3t – 27 = 0

х 2 – 2х – 15 =0

х 2 – 2х – 6 =9;

Ответ: -3; 5.

2 способ. Исследование ОДЗ.

Решить уравнение

ОДЗ:


х = 2. Проверкой убеждаемся, что х = 2 является корнем уравнения.

3 способ. Умножение обеих частей уравнения на сопряженный множитель.

+
(умножим обе части на -
)

х + 3 – х – 8 = 5(-)


2=4, отсюда х=1. Проверкой убеждаемся, что х = 1 является корнем данного уравнения.


4 способ. Сведение уравнения к системе с помощью введения переменной.

Решить уравнение

Пусть = u,
=v.

Получим систему:

Решим методом подстановки. Получим u = 2, v = 2. Значит,

получим х = 1.

Ответ: х = 1.

5 способ. Выделение полного квадрата.

Решить уравнение

Раскроем модули. Т.к. -1≤сos0,5x≤1, то -4≤сos0,5x-3≤-2, значит, . Аналогично,

Тогда получим уравнение

x = 4πn, nZ.

Ответ: 4πn, nZ.

6 способ. Метод оценки

Решить уравнение

ОДЗ: х 3 - 2х 2 - 4х + 8 ≥ 0, по определению правая часть -х 3 + 2х 2 + 4х - 8 ≥ 0

получим
т.е. х 3 - 2х 2 - 4х + 8 = 0. Решив уравнение разложением на множители, получим х = 2, х = -2

7 способ: Использование свойств монотонности функций.

Решить уравнение . Функции строго возрастают. Сумма возрастающих функций есть возрастающая и данное уравнение имеет не более одного корня. Подбором находим х = 1.

8 способ. Использование векторов.

Решить уравнение . ОДЗ: -1≤х≤3.

Пусть вектор
. Скалярное произведение векторов - есть левая часть. Найдем произведение их длин . Это есть правая часть. Получили
, т.е. векторы а и в – коллинеарны. Отсюда
. Возведем обе части в квадрат. Решив уравнение, получим х = 1 и х =
.


  1. Закрепление. (каждому ученику раздаются листы с заданиями)
Фронтальная устная работа

Найти идею решения уравнений (1-10)

1.
(ОДЗ - )

2.
х = 2

3. х 2 – 3х +
(замена)

4. (выделение полного квадрата)

5.
(Сведение уравнения к системе с помощью введения переменной.)

6.
(умножением на сопряженное выражение)

7.
т.к.
. То данное уравнение не имеет корней.

8. Т.к. каждое слагаемое неотрицательно, приравниваем их к нулю и решаем систему.

9. 3

10. Найдите корень уравнения (или произведение корней, если их несколько) уравнения.

Письменная самостоятельная работа с последующей проверкой

решить уравнения под номерами 11,13,17,19


Решить уравнения:

12. (х + 6) 2 -

14.


  • Метод оценки

  • Использование свойств монотонности функций.

  • Использование векторов.

    1. Какие из этих методов используются при решении уравнений других типов?

    2. Какой из этих методов вам понравился больше всего и почему?

    1. Домашнее задание: Решить оставшиеся уравнения.
    Список литературы:

    1. Алгебра и начала математического анализа: учеб. для 11 кл. общеобразоват. учреждений / С.М.Никольский, М.К.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин. М: Прсвещение, 2009

    1. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 11 класса /Б.М. Ивлев, С.М. Саакян, С.И. Шварцбурд. – М.: Просвещение, 2003.

    2. Мордкович А. Г. Алгебра и начала анализа. 10 – 11 кл.: Задачник для общеобразоват. учреждений. – М.: Мнемозина, 2000.

    3. Ершова А. П., Голобородько В. В. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и началам анализа для 10 – 11 классов. – М.: Илекса, 2004

    4. КИМы ЕГЭ 2002 – 2010 г. г
    6. Алгебраический тренажер. А.Г.Мерзляк, В.Б.Полонский, М.С. Якир. Пособие для школьников и абитуриентов. Москва.: «Илекса» 2001г.
    7. Уравнения и неравенства. Нестандартные методы решения. Учебно – методическое пособие. 10 – 11 классы. С.Н.Олейник, М.К. Потапов, П.И.Пасиченко. Москва. «Дрофа». 2001г.

    Основные методы решения иррациональных уравнений - страница №1/1

    Учитель: Зыкова О.Е. Конспект урока

    Класс: 11 – физико-математический профиль.

    Тема урока: Основные методы решения иррациональных уравнений

    Тип: Урок обобщения и систематизации знаний.

    Форма урока: семинар

    Цели урока:

    1. Систематизировать способы решения иррациональных уравнений; стимулировать учащихся к овладению рациональными приемами и методами решения, научить применять полученные знания при решении уравнений повышенного уровня сложности.

    2. Развивать логическое мышление, память, познавательный интерес, продолжать формирование математической речи и графической культуры, вырабатывать умение обобщать, делать выводы.

    3. Приучать к эстетическому оформлению записи в тетради и на доске, прививать аккуратность, учить умению выслушивать других и умению общаться.

    Оборудование: компьютер, экран, проектор для показа презентаций, раздаточный материал по теме урока.

    План урока:


    1. Организационный момент.

    2. Актуализация знаний.

    3. Обобщение и систематизация способов решения иррациональных уравнений,
    рассмотрение новых.

    1. Закрепление

    2. Итог урока

    3. Домашнее задание
    Ход урока

    1. Организационный момент: сообщение темы урока, цели урока.

    2. Актуализация знаний.
    Вспомним, что иррациональным уравнением называется такое уравнение, в котором переменная находится под знаком радикала . Решение иррационального уравнения основывается, как правило, на сведении его к равносильному с помощью элементарных преобразований. Ранее нами были рассмотрены некоторые способы решения иррациональных уравнений: а) уединение радикала и возведение в квадрат обеих частей уравнения (иногда не один раз) б) определение области допустимых значений неизвестного.

    Устная работа .


    1. Какие из следующих уравнений являются иррациональными:
    а) x + = 2; б) x =1+ x ; в)у + =2; г) =3?

    Ответ: а), в), г).


    1. Является ли число x 0 корнем уравнения:
    а) = , x 0 = 4; б) = , x 0 = 2; в) = - , x 0 = 0?

    Ответ: а)нет, б)да, в) нет.


    1. Выясните, при каких значениях x имеет место равенство:
    а) = ; б) =

    Ответ: а) при x , б) при x .


    1. Не решая следующих уравнений, объясните, почему каждое из них не может иметь корней:
    а) + = - 2; б) + = - 4;

    в) + = - 1; г) + = - 1.

    Ответ: при каждом допустимом значении переменной сумма двух неотрицательных чисел не может быть равна отрицательному числу.


    1. Найдите область определения функции:
    а) у = ; б) у = + ; в) у = + .

    Ответ: а) .
    В заданиях Единого государственного экзамена имеется довольно много уравнений, при решении которых необходимо выбрать такой способ решения, который позволяет решить уравнения проще, быстрее. Поэтому необходимо знать и помнить и другие методы решения иррациональных уравнений, о которых мы сегодня и будем говорить: метод исключения радикалов в иррациональном уравнении, умножение на сопряженный множитель; приведение к уравнениям, содержащих абсолютную величину; графический и функциональный методы решения иррациональных уравнений; использование неравенства Коши при решении иррациональных уравнений; использование свойств уравнения вида f(f(x)) = x и др. методы.

    Группа ребят подготовили задания по одному из методов решения. Они вам покажут, как их применяют, вы должны записывать решение и задавать вопросы.


    1. Обобщение и систематизация способов решения иррациональных уравнений, рассмотрение новых.
    1-й ученик.

    1. Уравнения, в которых переменная содержится под знаком корня или возводится в дробную степень, называют иррациональным.
    Рассмотрим уравнение вида Прежде всего, остановимся на области допустимых значений иррационального уравнения , под которой будем понимать множество таких значений переменной, для которых определена каждая функция, входящая в уравнение.

    Например, для уравнения - = 5 областью допустимых значений служит множество решений системы неравенств то есть область допустимых значений данного уравнения есть пустое множество. Значит, уравнение решений не имеет.

    Рассмотрим еще один пример – = 0. Областью допустимых значений данного уравнения служит множество решений системы неравенств то есть область допустимых значений данного уравнения есть одноэлементное множество . Непосредственная подстановка числа 2 в уравнение показывает, что 2 –его корень.

    2. Как уже говорилось, основной метод решения – возведение обеих частей уравнения в степень n. При этом, если n- четное, то могут возникнуть посторонние корни. Поэтому в уравнениях необходимо делать проверку.

    а) Если n = 2 k +1 , то уравнение = h (x ) равносильно на множестве действительных чисел уравнению g (x ) =(h (x )) 2 k +1 .

    б) Если n = 2 k , то уравнение = h (x ) равносильно на множестве действительных чисел системе

    Если уравнение содержит два и больше корней, то один из корней «уединяется», после чего обе части уравнения возводятся в степень n.

    Решим уравнения:

    Пример 1 . .

    Решение

    Область допустимых значений:
    .

    Преобразуем уравнение: . Возведем обе части этого уравнения в квадрат: ,
    .

    Полученное уравнение равносильно смешанной системе:

    или

    Ответ: x = 1.


    Пример 2 . Решить уравнение и установить, при каких действительных значениях a уравнение имеет решение.

    Решение

    Перепишем данное уравнение так:

    Возведем обе части полученного уравнения в квадрат, получим:

    Снова возведем обе части последнего уравнения в квадрат, получим

    Остается установить, при каких значениях a уравнение имеет решение.

    Подставляя в данное уравнение вместо x выражение
    получим:

    Последнее равенство рассмотрим на каждом из четырех промежутков:

    Если
    , то равенство примет вид: и выполняется тождество. Следовательно, при
    уравнение имеет решение.

    Если
    , то равенство примет вид: которое не выполняется при
    ; следовательно, при a = 0 уравнение не имеет решений.

    Если
    , то равенство не выполняется, так как

    Если
    , то равенство выполняется, так как

    Итак, при
    и при

    При
    уравнение не имеет решений.
    Ответ:

    1. При
    уравнение имеет единственный корень

    2. При
    уравнение не имеет решений.
    2-й ученик. (Введение новой переменной)

    Замена переменной в иррациональном уравнении используется довольно часто. Она, как правило, позволяет свести данное иррациональное уравнение к рациональному или, по крайней мере, упростить его.

    Пример 1. 2x 2 +3 x -3 + =30.

    Решение. Пусть y= , у Тогда = у 2 - 9 и уравнение примет вид: у 2 - 9 – 3 + у = 30. Решаем его:

    система равносильна совокупности двух систем:
    или

    Возвращаясь к исходной переменной, получим: = 6, = 36, - 27 = 0, x 1 = 3, x 2 = - 4,5. Т.к. все совершенные преобразования были равносильными, то проверять эти числа не следует.

    Ответ: - 4,5; 3.

    Пример 2.
    .

    Решение. Выражения
    и
    являются взаимно обратными, если они не равны нулю, т. е.
    , т. е. область допустимых значений:

    В самом деле:
    .

    Пусть
    , получим смешанную систему:

    система равносильна совокупности двух систем:


    или

    Возвращаясь к старой переменной, получим:

    Это значение переменной входит в область допустимых значений и является корнем уравнения.
    Ответ : 2,5.
    Пример 3.

    Решение.

    Пусть тогда отсюда можно исключить x и получить уравнение, содержащие переменные u и v.

    Из системы уравнений исключим x:

    Подставляя значения в первоначальное уравнение, получим:

    Приходим к системе уравнений:

    Подставим значения u из второго уравнения в первое, получим:

    Это биквадратное уравнение. Положим
    тогда придем к квадратному уравнению:
    которое имеет два корня:

    не удовлетворяет условию
    и является посторонним корнем. Находим:

    Ответ: - 3
    3-й ученик. (Выделение полного квадрата (квадрата двучлена) и приведение к уравнениям, содержащих абсолютную величину)

    Пример 1.

    Решение.

    Область допустимых значений:

    Замечаем, что под знаками корней находятся полные квадраты. Преобразуем их:

    Приходим к уравнению, содержащему модули:


    При
    получаем уравнение
    Это значение x не входит в промежуток

    При
    получаем уравнение
    Это значение также не входит в промежуток
    и не может быть корнем уравнения.

    При
    получаем уравнение
    - не является корнем уравнения.

    При
    получаем
    - не является корнем.


    Ответ: корней нет.

    Пример 2. + =1

    Решение. Считая x 1, произведем замену = у, у и решим уравнение (у 2 = x -1 , тогда x = у 2 +1 ):

    + = 1 + =1 + =1

    2 .

    Сделаем обратную замену и решим неравенство:

    4 5

    Таким образом, уравнение имеет бесконечно много корней.

    Ответ:

    Пример 3.

    Решение.

    Раскроем модули. Т.к. -1 ≤ сos0,5 x ≤ 1, то -4 ≤ сos0,5x - 3 ≤ -2, значит, . Аналогично,

    Тогда получим уравнение:3- - 3 + 2 = 1

    cos0,5x = 1

    x = 4πn, nZ.

    Ответ: 4πn, nZ.

    4-й ученик. (Метод исключения радикалов в иррациональном уравнении, умножением на сопряженный множитель)

    Цель умножения на сопряженное выражение ясна: использовать тот факт, что произведение двух сопряженных выражений уже не содержит радикалов.

    Пример 1.

    Решение.

    Область допустимых значений




    или

    Умножим обе части уравнения на выражение сопряженное левой части уравнения, т. е. на
    получаем:

    Таким образом, исходное уравнение равносильно системе уравнений:

    сложим уравнения и получаем:

    Возведем обе части полученного уравнения в квадрат, придем к линейному уравнению

    Это значение входит в область допустимых значений и является корнем уравнения.

    Ответ:
    Пример 2.

    Решение.

    ОДЗ - множество всех действительных чисел т. е.
    .

    Преобразуем уравнение

    В левой части уравнения получили неполной квадрат разности двух выражений. Умножим обе части уравнения на (
    ). В левой части получим сумму кубов этих выражений - корней нет.

    Ответ : решений нет.
    5-й ученик. (Применение неравенства Каши и свойств уравнения вида f (f (x )) = x )
    Применение неравенства Коши.

    При решении некоторых иррациональных уравнений иногда бывает полезно воспользоваться известным классическим неравенством Коши: для любых положительных чисел a и b справедливо неравенство:

    , где знак равенства достигается тогда и только тогда, когда a = b .

    Пример 1.

    Решение. В силу неравенства Коши имеем:

    Следовательно, левая часть неравенства не превосходит x + 1. В самом деле, сложим обе части неравенств,

    получим:

    Таким образом, из данного уравнения следует, что правая часть, будучи равна левой, также будет меньше или равна x + 1, т. е. значит x = 1. Это значение и является единственным решением данного уравнения.


    Ответ : 1.

    Применение свойств уравнения вида f(f(x)) = x

    Теорема . Если y = f(x) - монотонно возрастающая функция, то уравнения

    Равносильны.

    Замечание . Теорема имеет обобщение. Если y = f(x) монотонно возрастает, то при любом k уравнения
    и
    равносильны.

    Применение этой теоремы к решению иррациональных уравнений. «встречно монотонны», т.е.
    возрастает, а
    убывает и наоборот, то такое уравнение имеет не более одного корня.

    Для выяснения монотонности той или иной функции, входящей в уравнение, можно использовать, прежде всего, свойства элементарных функций. Строгая монотонность исследуемой функции легко выясняется с помощью производной.

    Рассмотрим несколько примеров.

    Пример. .

    Решение. Это уравнение можно попытаться решить возведением в квадрат (трижды!). Однако при этом получится уравнение четвертой степени. Попробуем угадать корень. Это сделать нетрудно:
    . Теперь заметим, что левая часть уравнения – возрастающая функция, а правая – убывающая. Но это значит, что больше одного корня такое уравнение иметь не может. Итак,
    – единственный корень.

    Y . Итог урока:


    1. Какие методы решения иррациональных уравнений мы рассмотрели?

    2. Какие из этих методов используются при решении уравнений других типов?

    3. Какой из этих методов вам понравился больше всего и почему?
    YI . Домашнее задание: Из предложенных уравнений выбрать не менее 5 любых уравнений и решить их.

    Существуют два равноценных метода решения иррациональных уравнений с квадратными корнями:

    • Метод равносильных переходов (с учетом ОДЗ). При этом для правильной записи области допустимых значений, в общем случае необходимо потребовать неотрицательности всех подкоренных выражений, а также выражений, которым равны корни квадратные (если таковые можно алгебраически выразить из уравнения).
    • Метод перехода к уравнению-следствию (без учета ОДЗ). В этом методе обязательно требуется проверка корней подстановкой.

    Честно говоря, в иррациональных уравнениях порой так сложно правильно записать ОДЗ, что даже если Вы будете пробовать это сделать, то корни всё равно лучше проверять подстановкой, особенно если корни представляют из себя целые числа.

    Обратите внимание на очень частую ошибку – если Вы решаете уравнение типа:

    То при записи ОДЗ необходимо требовать неотрицательность правой части, то есть накладывать условие:

    Причем необходимо понимать, что данное условие нужно дополнительно добавлять в ОДЗ даже если к подобному уравнению Вы пришли уже после нескольких преобразований (возведений в квадрат), а не только в случае, когда уравнение изначально выглядело соответствующим образом.

    В иррациональных уравнения особо актуально становится следующее замечание: для того чтобы произведение нескольких множителей было равно нолю, необходимо, чтобы хотя бы один их них равнялся нолю, а остальные существовали . Когда множителями являются корни, а не просто скобки как в рациональных уравнениях, то они часто могут и не существовать. Так возникают ошибки.

    Если в иррациональном уравнении много корней, то крайне желательно перед возведением этого уравнения в квадрат перенести корни справа налево или наоборот так, чтобы с каждой из сторон получилась именно сумма корней, то есть заведомо положительное выражение. Если же, по каким-то причинам, Вы решили возводить в квадрат разность корней (т.е. выражение чей знак неизвестен), то будьте готовы получить несколько посторонних корней. В этом случае обязательно нужно проверить все корни подстановкой, потому что правильно записать ОДЗ уже скорее всего не получится.

    Если в иррациональном уравнении имеется корень в корне, то необходимо будет несколько раз возводить это уравнение в квадрат, при этом главное понимать, что в соответствии с изложенными выше условиями, при каждом таком возведении могут получаться всё новые и новые условия для ОДЗ. В таких уравнениях при возможности лучше проверять корни подстановкой.

    При решении иррациональных уравнений часто удобно использовать замену. При этом главное помнить, что после введения замены в некоторое уравнение это уравнение должно:

    • во-первых, стать проще;
    • во-вторых, больше не содержать первоначальной переменной.

    Кроме того, важно не забывать выполнять обратную замену, т.е. после нахождения значений для новой переменной (для замены), записывать вместо замены то, чему она равна через первоначальную переменную, приравнивать это выражение к найденным значениям для замены и опять решать уравнения.

    При решении систем иррациональных уравнений с двумя неизвестными зачастую достаточно действовать по стандартной схеме. А именно, выразить одну из переменных из одного из уравнений и подставить данное выражение вместо соответствующей переменной в другое уравнение. После чего получится некоторое иррациональное уравнение с одной неизвестной, которое затем следует решить с учетом всех правил решения иррациональных уравнений. Значение первой переменной затем нужно найти используя её выражение через уже найденную переменную.

    При решении систем иррациональных уравнений с большим количеством переменных также зачастую достаточно использовать метод подстановки. Также при решении систем иррациональных уравнений часто помогает метод замены переменных. При этом нужно понимать, что после введения замены переменных в систему:

    • во-первых, она опять-таки должна упроститься;
    • во-вторых, новых переменных должно быть столько же сколько и старых;
    • в-третьих, система больше не должна содержать старых переменных;
    • в-четвёртых, нужно не забыть выполнить обратную замену.

    Основные свойства степеней

    При решении иррациональных уравнений необходимо помнить много свойств степеней и корней. Перечислим ниже основные из них. У математических степеней есть несколько важных свойств:

    Последнее свойство выполняется только при n > 0. Ноль можно возводить только в положительную степень. Ну а основное свойство отрицательной степени записывается следующим образом:

    Основные свойства математических корней

    Математический корень можно представить в виде обычной степени, а затем пользоваться всеми свойствами степеней приведёнными выше. Для представления математического корня в виде степени используют следующую формулу:

    Тем не менее можно отдельно выписать ряд свойств математических корней, которые основываются на свойствах степеней описанных выше:

    Для арифметических корней выполняется следующее свойство (которое одновременно можно считать определением корня):

    Последнее справедливо: если n – нечетное, то для любого a ; если же n – четное, то только при a больше либо равном нолю. Для корня нечетной степени выполняется также следующее равенство (из под корня нечетной степени можно выносить знак "минус"):

    Так как значение корня четной степени может быть только неотрицательным , то для таких корней имеется следующее важное свойство:

    Итак всегда нужно помнить, что под корнем четной степени может стоять только неотрицательное выражение, и сам корень тоже есть неотрицательное выражение. Кроме того, нужно отметить, что если используется запись со значком математического корня, то показатель степени этого корня может быть только целым числом, причем это число должно быть больше либо равно двум:

    Основные свойства квадратного корня

    Квадратным корнем называется математический корень второй степени:

    Квадратный корень можно извлечь только из неотрицательного числа. При этом значение квадратного корня также всегда неотрицательно:

    Для квадратного корня существует два важных свойства, которые важно очень хорошо запомнить и не путать:

    Если под корнем стоит несколько множителей, то корень можно извлекать из каждого из них по-отдельности. При этом важно понимать, что каждый из этих множителей по-отдельности (а не только их произведение) должны быть неотрицательными:

    Обратите внимание на другой случай использования последнего свойства. Если под корнем квадратным имеется произведение двух отрицательных величин (т.е. по итогу величина положительная, а значит корень существует), то этот корень раскладывается на множители следующим образом:

    • Назад
    • Вперёд

    Как успешно подготовиться к ЦТ по физике и математике?

    Для того чтобы успешно подготовиться к ЦТ по физике и математике, среди прочего, необходимо выполнить три важнейших условия:

    1. Изучить все темы и выполнить все тесты и задания приведенные в учебных материалах на этом сайте. Для этого нужно всего ничего, а именно: посвящать подготовке к ЦТ по физике и математике, изучению теории и решению задач по три-четыре часа каждый день. Дело в том, что ЦТ это экзамен где мало просто знать физику или математику, нужно еще уметь быстро и без сбоев решать большое количество задач по разным темам и различной сложности. Последнему научиться можно только решив тысячи задач.
    2. Выучить все формулы и законы в физике, и формулы и методы в математике . На самом деле, выполнить это тоже очень просто, необходимых формул по физике всего около 200 штук, а по математике даже чуть меньше. В каждом из этих предметов есть около десятка стандартных методов решения задач базового уровня сложности, которые тоже вполне можно выучить, и таким образом, совершенно на автомате и без затруднений решить в нужный момент большую часть ЦТ. После этого Вам останется подумать только над самыми сложными задачами.
    3. Посетить все три этапа репетиционного тестирования по физике и математике. Каждый РТ можно посещать по два раза, чтобы прорешать оба варианта. Опять же на ЦТ, кроме умения быстро и качественно решать задачи, и знания формул и методов необходимо также уметь правильно спланировать время, распределить силы, а главное правильно заполнить бланк ответов, не перепутав ни номера ответов и задач, ни собственную фамилию. Также в ходе РТ важно привыкнуть к стилю постановки вопросов в задачах, который на ЦТ может показаться неподготовленному человеку очень непривычным.

    Успешное, старательное и ответственное выполнение этих трех пунктов позволит Вам показать на ЦТ отличный результат, максимальный из того на что Вы способны.

    Нашли ошибку?

    Если Вы, как Вам кажется, нашли ошибку в учебных материалах, то напишите, пожалуйста, о ней на почту. Написать об ошибке можно также в социальной сети (). В письме укажите предмет (физика или математика), название либо номер темы или теста, номер задачи, или место в тексте (страницу) где по Вашему мнению есть ошибка. Также опишите в чем заключается предположительная ошибка. Ваше письмо не останется незамеченным, ошибка либо будет исправлена, либо Вам разъяснят почему это не ошибка.

    Методы решения иррациональных уравнений.

    Предварительная подготовка к уроку: учащиеся должны уметь решать иррациональные уравнения различными способами.

    За три недели до данного занятия учащиеся получают домашнее задание №1: решить различные иррациональные уравнения. (Учащиеся самостоятельно находят по 6 различных иррациональных уравнений и решают их в парах.)

    За одну неделю до данного занятия учащиеся получают домашнее задание №2, которое выполняют индивидуально.

    1. Решить уравнение различными способами.

    2. Оценить достоинства и недостатки каждого способа.

    3. Оформить запись выводов в виде таблицы.

    № п/п

    Способ

    Достоинства

    Недостатки

    Цели урока:

    Образовательная: обобщение знаний учащихся по данной теме, демонстрация различных методов решения иррациональных уравнений, умения учащихся подходить к решению уравнений с исследовательских позиций.

    Воспитательная: воспитание самостоятельности, умения выслушивать других и общаться в группах, повышение интереса к предмету.

    Развивающая: развитие логического мышления, алгоритмической культуры, навыков самообразования, самоорганизации, работы в парах при выполнении домашнего задания, умений анализировать, сравнивать, обобщать, делать выводы.

    Оборудование: компьютер, проектор, экран, таблица «Правила решения иррациональных уравнений», плакат с цитатой М.В. Ломоносова «Математику уже затем учить следует, что она ум в порядок приводит», карточки.

    Правила решения иррациональных уравнений.

    Тип урока: урок-семинар (работа в группах по 5-6 человек, в каждой группе обязательно есть сильные ученики).

    Ход урока

    I . Организационный момент

    (Сообщение темы и целей урока)

    II . Презентация исследовательской работы «Методы решения иррациональных уравнений»

    (Работу представляет учащийся, который ее проводил.)

    III . Анализ методов решения домашнего задания

    (По одному учащемуся от каждой группы записывают на доске предложенные ими способы решения. Каждая группа анализирует один из способов решения, оценивает достоинства и недостатки, делает выводы. Учащиеся групп дополняют, если это необходимо. Оценивается анализ и выводы группы. Ответы должны быть четкими и полными.)

    Первый способ: возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень с последующей проверкой.

    Решение.

    Снова возведем обе части уравнения в квадрат:

    Отсюда

    Проверка:

    1. Если х= 42, то , значит, число 42 не является корнем уравнения.

    2. Если х= 2, то , значит, число 2 является корнем уравнения.

    Ответ: 2.

    № п/п

    Способ

    Достоинства

    Недостатки

    Возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень

    1. Понятно.

    2. Доступно.

    1. Словесная запись.

    2. Сложная проверка.

    Вывод. При решении иррациональных уравнений методом возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень необходимо вести словесную запись, что делает решение понятным и доступным. Однако обязательная проверка иногда бывает сложной и занимает много времени. Этот метод можно использовать для решения несложных иррациональных уравнений, содержащих 1-2 радикала.

    Второй способ: равносильные преобразования.

    Решение: Возведем обе части уравнения в квадрат:

    Ответ: 2.

    № п/п

    Способ

    Достоинства

    Недостатки

    Равносильных преобразований

    1. Отсутствие словесного описания.

    2. Нет проверки.

    3. Четкая логическая запись.

    4. Последовательность равносильных переходов.

    1. Громоздкая запись.

    2. Можно ошибиться при комбинации знаков системы и совокупности.

    Вывод. При решении иррациональных уравнений методом равносильных переходов нужно четко знать, когда ставить знак системы, а когда - совокупности. Громоздкость записи, различные комбинации знаков системы и совокупности нередко приводят к ошибкам. Однако последовательность равносильных переходов, четкая логическая запись без словесного описания, не требующая проверки, являются бесспорными достоинствами данного способа.

    Третий способ: функционально-графический.

    Решение.

    Рассмотрим функции и .

    1. Функция степенная; является возрастающей, т.к. показатель степени - положительное (не целое) число.

    D( f ).

    Составим таблицу значений x и f ( x ).

    1,5

    3,5

    f(x)

    2. Функция степенная; является убывающей.

    Найдем область определения функции D ( g ).

    Составим таблицу значений x и g ( x ).

    g(x)

    Построим данные графики функций в одной системе координат.

    Графики функций пересекаются в точке с абсциссой Т.к. функция f ( x ) возрастает, а функция g ( x ) убывает, то решение уравнения будет только одно.

    Ответ: 2.

    №п/п

    Способ

    Достоинства

    Недостатки

    Функционально-графический

    1. Наглядность.

    2. Не нужно делать сложных алгебраических преобразований и следить за ОДЗ.

    3. Позволяет найти количество решений.

    1. словесная запись.

    2. Не всегда можно найти точный ответ, а если ответ точный, то нужна проверка.

    Вывод. Функционально-графический метод является наглядным, позволяет найти количество решений, но применять его лучше тогда, когда легко можно построить графики рассматриваемых функций и получить точный ответ. Если ответ приближенный, то лучше воспользоваться другим методом.

    Четвертый способ: введение новой переменной.

    Решение. Введем новые переменные, обозначив Получим первое уравнение системы

    Составим второе уравнение системы.

    Для переменной :

    Для переменной

    Поэтому

    Получим систему двух рациональных уравнений, относительно и

    Вернувшись к переменной , получим

    Введение новой переменной

    Упрощение - получение системы уравнений, не содержащих радикалы

    1. Необходимость отслеживать ОДЗ новых переменных

    2. Необходимость возврата к исходной переменной

    Вывод. Этот метод лучше применять для иррациональных уравнений, содержащих радикалы различных степеней, или одинаковые многочлены под знаком корня и за знаком корня, или взаимообратные выражения под знаком корня.

    - Итак, ребята, для каждого иррационального уравнения необходимо выбирать наиболее удобный способ решения: понятный. Доступный, логически и грамотно оформленный. Поднимите руку, кто из вас при решении этого уравнения отдал бы предпочтение:

    1) методу возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень с проверкой;

    2) методу равносильных преобразований;

    3) функционально-графическому методу;

    4) методу введения новой переменной.

    IV . Практическая часть

    (Работа в группах. Каждая группа учащихся получает карточку с уравнением и решает ее в тетрадях. В это время по одному представителю от группы решают пример на доске. Учащиеся каждой группы решают тот же пример, что и член их группы, и следят за правильностью выполнения задания на доске. Если отвечающий у доски допускает ошибки, то тот, кто их замечает, поднимает руку и помогает исправить. В ходе занятия каждый учащийся помимо примера, решаемого его группой, должен записать в тетрадь и другие, предложенные группам, и решить их дома.)

    Группа 1.

    Группа 2.

    Группа 3.

    V . Самостоятельная работа

    (В группах сначала идет обсуждение, а затем учащиеся приступают к выполнению задания. Правильное решение, подготовленное преподавателем, выводится на экран.)

    VI . Подведение итогов урока

    Теперь вы знаете, что решение иррациональных уравнений требует от вас хороших теоретических знаний, умения применять их на практике, внимания, трудолюбия, сообразительности.

    Домашнее задание

    Решить уравнения, предложенные группам в ходе занятия.